pokaz koszyk
tylko: autor tytuł  24h
»
»
»
Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trójkąty i trójki
podręcznik:

Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trójkąty i trójki

Dane szczegółowe:
Wydawca: Aksjomat
Rok wyd.: 2017
Oprawa: miękka
Ilość stron: 68 s.
Wymiar: 165x240 mm
EAN: 9788364660382
ISBN: 9788364660382
Data: 2017-04-10
Cena: 11.45  Cena wydawcy: 17.64 zł Oszczędzasz: 6.19 do koszyka pozycja dostępna Wyślemy w czasie: 1-3 dni

Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trójkąty i trójki - Mieczysław K. Mentzen, Tomasz Mentzen - opis podręcznika:

Na tegoroczny zeszyt miniatur dla liceów złożyły się cztery artykuły. Pobieżne przewertowanie książeczki może sprawić wrażenie, że zbiór został zdominowany przez geometrię: w tytule pierwszej miniatury mamy Pitagorasa i trójkąty, słowo geometria pojawia się aż dwukrotnie w tytule drugiej. Tytuł ostatniej miniatury może nie kojarzyć się z geometrią, ale wystarczy przerzucić kartki, aby zobaczyć wykresy podobne do tych, jakie pojawiają się na lekcjach geometrii. Jednak pierwsze wrażenie jest złudne. W rzeczywistości materiał zawarty w miniaturach okazuje się być bliższy arytmetyce niż geometrii.

Miniatura pierwsza jest połączeniem swego rodzaju eseju o Pitagorasie z przedstawieniem trójek pitagorejskich. Geometrycznie rzecz biorąc, szukamy wszystkich trójkątów prostokątnych o bokach całkowitych. Ale zarówno odpowiedź jak i metody służące jej uzasadnieniu są typowo arytmetyczne. W istocie bowiem poszukujemy wszystkich całkowitych rozwiązań równania Pitagorasa x2 + y2 = z2.

Miniatura druga traktuje o geometrii kartki w kratkę. Głównym obiektem zainteresowania są tu tzw. wielokąty kratowe, czyli wielokąty, które można tak umieścić na kartce zeszytu w kratkę, aby wierzchołki leżały w punktach przecięcia linii tworzących kratki. Autor stara się przekonać Czytelnika, że stanowią one pomost między arytmetyką i geometrią. Z jednej strony bowiem do ich analizy niezbędne są metody arytmetyczne. Z drugiej strony, przy ich pomocy można pewne fakty czysto arytmetyczne udowodnić geometrycznie. Zauważmy, że trójkąty pitagorejskie z pierwszej miniatury są pewnymi szczególnymi trójkątami kratowymi. Z drugiej strony, równanie Pitagorasa zadaje w przestrzeni pewien stożek i poszukiwanie całkowitych rozwiązań tego równania to w istocie poszukiwanie punktów kratowych na tej powierzchni.

Miniatura trzecia przenosi nas w świat algebry. Ucząc się matematyki, z algebrą spotykamy się po raz pierwszy, gdy pewne konkretne, ale na razie nieznane liczby zastępujemy literami. Oswajając się z rachunkiem na "literkach", zaczynamy rozumieć wzory algebraiczne jako ogólne prawa rządzące rachunkiem na liczbach. Poznając nowe pojęcia, piszemy analogiczne wzory, w których litery mogą zastępować już nie tylko liczby, ale również wektory, funkcje itp. W kolejnym etapie - przynajmniej intuicyjnie - zaczynamy traktować wyrażenia algebraiczne jako samoistne obiekty, na których możemy prowadzić operacje arytmetyczne. Autorka zaprasza Czytelnika do zrobienia następnego kroku, w którym symbolami zostają oznaczone już nie tylko obiekty działań, ale także same działania. Pozwala to dostrzec analogie pomiędzy z pozoru całkiem różnymi "światami" ( na przykład, co łączy dodawanie liczb rzeczywistych i składanie funkcji wzajemnie jednoznacznych). Prowadzi to do abstrakcyjnych struktur algebraicznych (grup, pierścieni i ciał). Pozornie miniatura ta całkowicie wyłamuje się z nurtu geometrycznego, ale w rzeczywistości ma znacznie więcej wspólnego z geometrią, niżby to na pierwszy rzut oka wynikało. Istotnym źródłem idei prowadzących do pojęcia grupy były grupy symetrii obiektów geometrycznych.

Kodą zamykającą całość jest zaledwie kilkustronicowa miniatura o twierdzeniu Erdosa i Mordella. Samo twierdzenie jest pięknym i elementarnym rezultatem z geometrii trójkąta i aż dziw bierze, że musiało czekać na swoje odkrycie aż do lat trzydziestych XX wieku. Niespodziewanie miniatura ta wpasowuje się w ciąg opowiadań o związkach arytmetyki i geometrii, lecz tym razem łącznikiem są nie rozważane obiekty matematyczne, lecz ludzie. Z dwóch wymienionych matematyków Paul Erdos jest znacznie lepiej znany i to jemu autorzy poświęcili kilka słów. O związkach autora dowodu, Louisa Mordella, z arytmetyką napomyka zaledwie przypis. Mordell interesował się punktami wymiernymi (czyli punktami o współrzędnych wymiernych) na pewnych specjalnych krzywych zwanych krzywymi eliptycznymi. (Na marginesie, krzywe te wyróżniają się tym, że na ich punktach można w naturalny sposób zadać strukturę grupy. .. ). Pracując nad tym zagadnieniem postawił hipotezę udowodnioną w latach osiemdziesiątych XX w. przez Gerarda Faltingsa, że na dostatecznie ogólnych krzywych liczba punktów wymiernych jest skończona. Z kolei dowód Faltingsa utorował drogę dowodowi wielkiego twierdzenia Fermata, które mówi, że jeśli w równaniu Pitagorasa zamienimy kwadraty wyższymi potęgami, to nowe równanie nie będzie miało innych rozwiązań całkowitych jak oczywiste rozwiązanie zerowe. Ten powrót do Pitagorasa zamyka koło opowieści.

Oceń, napisz recenzję/opinię [+]
  Bądź pierwszy - napisz opinię, recenzję o podręczniku "Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trójkąty i trójki"
Mieczysław K. Mentzen, Tomasz Mentzen - autor m.in.:
Miniatury matematyczne 63 - okładka książki
Miniatury matematyczne 63 Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Mirosław Uscki, Mieczysław K. Mentzen, Piotr Jędrzejewicz, Witol;
Miniatury matematyczne 55 - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 55 Mieczysław K. Mentzen, Witold Kraśkiewicz, Piotr Jędrzejewicz;
Miniatury matematyczne 14. Szkoła - okładka książki
Miniatury matematyczne 14. Szkoła ponadgimnazjalna Paweł Jarek, Lev Kourliandtchik, Josef Molnar, Mieczysław K. Mentzen;
Miniatury matematyczne 15. Wesoła - okładka książki
Miniatury matematyczne 15. Wesoła i kolorowa matematyka Zbigniew Bobiński, Mieczysław K. Mentzen, Piotr Nodzyński, Adela Świątek;
Miniatury matematyczne 16. Dla - okładka książki
Miniatury matematyczne 16. Dla szkół gimnazjalnych Zbigniew Bobiński, Mieczysław K. Mentzen, Piotr Nodzyński, Adela Świątek, Mirosław Uscki;
Miniatury matematyczne 17. Dla - okładka książki
Miniatury matematyczne 17. Dla szkół ponadgimnazjalnych Zbigniew Bobiński, Mieczysław K. Mentzen, Piotr Nodzyński, Adela Świątek, Mirosław Uscki;
Miniatury matematyczne 18. Matematyka - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 18. Matematyka dla dużych... Zbigniew Bobiński, Maria Ciszewska, Paweł Jarek, Piotr Jędrzejewicz, Mieczysław K. Mentzen;
Miniatury matematyczne 19. Dla - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 19. Dla szkół gimnazjalnych Zbigniew Bobiński, Maria Ciszewska, Paweł Jarek, Piotr Jędrzejewicz, Mieczysław K. Mentzen;
Miniatury matematyczne 20. Dla - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 20. Dla szkół ponadgimnazjalnych Zbigniew Bobiński, Maria Ciszewska, Paweł Jarek, Piotr Jędrzejewicz, Mieczysław K. Mentzen;
Kupujący tę pozycję zamówili również:
Miniatury matematyczne 3. Szkoła - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 3. Szkoła podstawowa i... Zbigniew Bobiński, Paweł Jarek, Adela Świątek, Mirosław Uscki
Miniatury matematyczne 4. Szkoła - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 4. Szkoła podstawowa i... Zbigniew Bobiński, Maria Ciszewska, Paweł Jarek, Brunon Kamiński, Lev Kourliandtchik, Mieczysław Me
Miniatury matematyczne 27. Prędkość - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 27. Prędkość czas droga Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Adela Świątek
Produkty podobne:
Miniatury matematyczne 41. Dzielimy - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 41. Dzielimy kwadrat na... Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Adela Świątek, Mirosław Uscki
Miniatury matematyczne 57. Pole - okładka podręcznika
Miniatury matematyczne 57. Pole figury pokolorowanej Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Mirosław Uscki
Matematyka bez formuł - okładka podręcznika
Matematyka bez formuł Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Mirosław Uscki